圆形有界磁场中磁聚焦规律的证明及应用doc

2020-12-13 14:48| 发布者: admin

 

  圆形有界磁场中“磁聚焦”规律的证明及应用 王波 (安徽省天长中学 239300) 摘要:带电粒子在匀强磁场中的运动是高中物理中常见的问题,磁场的边界也有多种情况,其中圆形边界最为常见,而当磁场圆半径与轨迹圆半径相等时,存在两条特殊规律:从边界上某点射入的相同粒子,其出射方向都平行于入射点的切线方向;反之,当从磁场边界上不同点以相同速度平行入射的相同粒子,又会聚焦于磁场边界上的同一点。这好比经过凸透镜焦点的入射光线,经凸透镜折射后变成平行光线;而平行主光轴入射的光线经凸透镜折射后会聚于焦点一样,我们可以称之为“磁聚焦”,以此为背景的题目中通常表现为设计磁场区域的问题。 关键词:圆形 有界磁场 磁聚焦 磁场设计 带电粒子在匀强磁场中的运动是高中物理中常见的问题,磁场的边界也有多种情况,其中圆形边界最为常见,而当磁场圆半径与轨迹圆半径相等时,存在两条特殊规律。本文首先利用几何知识证明这两条规律的正确性,然后应用这两条规律来解决三个磁场区域设计题,这三个题目初次遇到都会感到难以下手。 规律及证明: 规律1:带电粒子从圆形有界磁场边界上的某点射入磁场,如果磁场圆半径等于轨迹圆半径,则粒子的出射方向与磁场圆上入射点处的切线方向平行。 证明:如图1所示,实线圆⊙O表示一圆形有界磁场的边界,一个带电粒子(不计重力)从圆上的A点射入磁场,磁场圆的半径为R,带电粒子在磁场中做匀速圆周运动半径也是R,AD为过A点的切线,粒子从边界上的C点沿CE方向射出,下面来证明AD∥CE: 如图2所示,设为粒子做圆周运动的圆心,连接OA、OC、A、C,因为磁场圆半径等于轨迹圆半径,故,则四边形OAC为菱形,可得:OA∥C,又因为OA⊥AD,则C⊥AD;因为C⊥CE,可得AD∥CE 说明: 在上述证明过程中,粒子的入射方向是任意的,而A点的切线方向是确定的,因此从A点射入磁场的所有粒子都会平行于AD方向射出,如图3所示。粒子的入射方向是分散的,但经过圆形有界磁场偏转后,转变为平行出射,好比光学中,经过焦点的入射光线经凸透镜折射后变为平行光线一般。 此规律的逆规律也是成立的,这就是规律2。. 规律2:平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子,如果磁场圆半径等于轨迹圆半径,则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出磁场。 证明: 如图4所示,在圆O中存在垂直纸面向里的匀强磁场,一束带电粒子的质量和电荷量相同,以相同的速度从不同位置射入磁场,已知圆形有界磁场的圆半径和带电粒子作圆周运动的半径相等,均为R,求证所有粒子都从磁场边界上的同一点A射出。 如图5所示,过O点建立平面直角坐标系,x轴平行入射方向,设入射点P与圆心O的连线OP与y轴正向的夹角为,则P点的坐标为(,),轨迹圆的圆心 磁场圆的方程: 轨迹圆的方程: 求出两圆的交点坐标为:,其中为入射点P,则粒子的出射点A的坐标为:A(0,-R决定,不同的入射点对应不同的角,但出射点的位置A(0,-R无关,这说明无论入射点的位置如何变化,粒子都会从点A(0,-R应用 例1 电子质量为m,电荷量为e,从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限,射入时的速度方向不同,速度大小均为v0,如图6所示。现在某一区域内加一方向垂直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度为B,若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏MN上,荧光屏与y轴平行,求: 荧光屏上光斑的长度。 所加磁场范围的最小面积。 解析:(1)如图7所示,通过对两个边界粒子的运动情况的考察,即可确定光斑位置:沿x轴正向射入的粒子,做半个圆周运动后从磁场射出,可以垂直荧光屏打在A点;沿y轴正向射入的粒子,做1/4个圆周运动后从磁场射出,可以垂直荧光屏打在D点。AD即为荧光屏上的光斑长度:. (2)由(1)中两个边界粒子的运动轨迹可以确定出磁场的一部分轮廓,但是射在AD之间的粒子,它们从磁场何处射出呢?这之间的磁场边界如何确定呢? 根据规律1,如果加一个圆形有界磁场,且圆的半径恰好等于粒子的运动半径,则从磁场中同一点O射入的速率相等的相同带电粒子的出射方向都是平行的,刚好满足题意。故应加一个圆形有界磁场,并且由规律1可以确定此圆的位置:因为O点是磁场边界上的一点,且x轴为过O点的切线,R)处,做出此边界圆与(1)中两粒子的轨迹共同组成要找的磁场边界,如图8中实线圆弧所示。其面积为: 例2(2009年海南卷) 如图,ABCD是边长为的正方形。质量为、电荷量为的电子以大小为的初速度沿纸面垂直于BC射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场。电子从BC边上的任意点入射,都只能从A点射出磁场。不计重力,求:(1)匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小; (2)此匀强磁场区域的最小面积。解析: (1)考察从C点垂直BC入射的电子,要想偏转到A点,则在C点受到的洛伦兹力必竖直向下,可由左手定则判断出磁场的方向应垂直向外。A、C是轨迹上的两点,则圆心应在AC的中垂线上,可知B为轨迹圆的圆心,轨迹半径为a。做出轨迹如图10中虚线可知:当加一个半径大小等于轨迹圆半径的圆形匀强磁场时,所有平行入射的粒子都会从边界上的同一点射出磁场,而此题中所有垂直BC边入射的电子,其入射方向互相平行,又要求都从A点射出磁场,恰好与规律2相吻合。由规律2还可以确定出所加磁场的圆形边界的圆心位置:磁场边界圆的圆心与出射点的连线跟入射方向垂直,故圆心应在AD上到A点距离为半径,等于a,即在D点。做出磁场的圆形边界如图10中实线圆所示。题目要求的是最小面积,而所有从BC边射入的电子中,从C点入射的电子的轨迹是最靠上的,只要保证此轨迹处于磁场中即可,故可把它作为磁场的上边界,如此修改后,磁场的最小区域由图11中的两段实线圆弧组成。求出此图形的面积,为两个1/4扇形面积的和减去一个正方形面积: 例3 真空中有一半径为R的圆柱形匀强磁场区域,磁场方向垂直于纸面向里,Ox为过边界O点的切线所示。从O点在纸面内向各个方向发射速率均为v0的电子,设电子间的相互作用可以忽略,且电子在磁场中的偏转半径也为R。已知电子的电荷量为e,质量为m.问: (1)速度方向分别与Ox方向夹角为60°和90°的电子,在磁场中的运动时间分别是多少? (2)所有从磁场中射出的电子,速度方向有何特征? (3)设在某一平面内有M、N两点,由M点向平面内各个方向发射速率均为v0的电子,请设计一种匀强磁场分布,使得由M点发出的所有电子能汇聚到N点。 解析:(1)画出电子在磁场中的运动轨迹如图13中实线为圆心。设电子的入射方向与x轴的夹角为,由几何知识知道, 。由,知四边形OO1EO2为菱形,则,粒子在磁场中的运动时间为:。 因此,当时,;当时, (2)由规律1,可以直接解答此问,从圆形有界磁场边界上O点射入磁场的电子,由于轨迹圆半径等于磁场圆半径,因此所有电子出射的速度方向互相平行,都平行于入射点的切线方向,即与Ox平行。 (3)利用规律1、2可以比较容易解决此问:从磁场1中射出的的电子速度相同,如果再平行射入一个等大的圆形有界磁场,则又会聚焦于x轴上的同一点N,根据左手定则,可以确定磁场2的方向也是垂直纸面向里的,如图14所示。考虑几何上的条件限制:两个磁场不能相互交叠,则MN间的距离应该大于两圆的半径之和,即(L为MN两点间的距离),由此可得所加磁场的磁感应强度应满足条件:。 上面只考虑了向x轴上方射出的电子,对于向x轴下方射出的电子,要将他们从M点射出后聚焦于N点可以采取相同方法,加上两个半径也是R的圆形磁场,只是x轴下方磁场方向应与上方的相反。整个磁场区域设计如图15所示。 综上所述,当带电粒子在圆形有界磁场中运动半径等于磁场圆半径时,从磁场边界上沿不同方向入射的相同粒子改变为沿相同方向平行射出;平行入射的相同粒子将会聚于同一点射出。可见,磁场圆好比一个凸透镜,可以让从焦点入射的光线改变成平行光线;也可以将平行主光轴的入射光线会聚于焦点。我们可以把这种问题叫做“磁聚焦”。利用好本文介绍的规律,可以方便的解答以此为背景的磁场区域设计题。 附: 姓名:王波 地址:安徽省天长中学 邮编:239300 电话E-mail: 个人简介:王波,1981年生,男,湖北十堰人。2005年毕业于华中师范大学物理系物理学专业,获学士学位,中学一级教师,现就职于安徽省天长中学(安徽省示范高中)。2009年6月在天长市多媒体课件评比中荣获一等奖;2010年1月参加滁州市首届中学物理青年教师教学比赛荣获高中组二等奖。2010年6月在《中学物理教学参考》杂志上发表论文《利用函数对比法分析“测定电源电动势和内阻”的系统误差》。2011年4月在《物理教学》杂志上发表论文《探析绳连体模型的加速度关系-兼议机械能守恒中的一类错题》。 图1 图2 图4 图5 图3 图6 图7 图8 图 图10 图11 图12 图13 图15 图14

 

上一篇:New Page 1

关于我们|新闻投稿:zfdstxwb@163.com|主管主办:贞丰县新闻中心||贞丰在线 ( 黔ICP备13004079-2号  

公网安备 52232502000003号


GMT+8, 2019-4-7 15:13 , Processed in 1.085150 second(s), 15 queries .

返回顶部