圆形有界磁场中"磁聚焦"规律的证明及应用

2020-12-13 14:48| 发布者: admin

 

  圆形有界磁场中"磁聚焦"规律的证明及应用。3 3卷 第 1 2期 2 0 1 1 年 1 2月 物 理 教 学 V0 1 . 3 3 No . 1 2 De c .2 O1 1 PH YSI CS TEACH

  3 3卷 第 1 2期 2 0 1 1 年 1 2月 物 理 教 学 V0 1 . 3 3 No . 1 2 De c .2 O1 1 PH YSI CS TEACHI NG 圆形有界磁场 中“ 磁聚焦" 规律 的证 明及应用 王 波 ( 天长中学 安徽 2 3 9 3 0 0 ) 摘 要 带 电粒 子 在 匀强 磁 场 中 的 运 动 是 高 中物 理 中常 见 的 问题 , 磁 场 的 边 界 也 有 多种 情 况 , 其 中 圆形 边 界 最 为 常 见 。 而 当磁 场 圆半 径 与 轨 迹 圆半 径 相 等 时 , 存 在 两条 特 殊 规 律 : 从边界 上 某点射入 的相 同粒子 , 其 出射 方 向都 平 行 于入 射 点 的切 线方向 ; 反之 , 当从磁 场 边 界 上 不 同 点 以 相 同速 度 平 行 入 射 的 相 同 粒 子 , 又 会 聚 焦 于 磁 场 边 界 上 的 同 一 点 。 这 好 比 经 过 凸 透 镜 焦 点 的入 射 光 线 , 经 凸透 镜 折 射 后 变成 平 行 光 线 ; 而平行 主光轴 入射 的光线 经凸透镜 折射后 会聚 于焦点一样 , 我 们 可 以称 之 为“ 磁 聚 焦” , 以 此 为 背景 的题 目通 常 表 现 为 设 计 磁 场 区 域 的 问 题 。 关 键 词 圆形 有 界 磁 场 磁 聚 焦 磁 场 设 计 带 电粒 子 在 匀 强 磁 场 中 的运 动 是 高 中 物 理 中 常 见 的 问 题, 磁场的边界也有多种情况 , 其 中 圆形 边 界 最 为 常 见 , 而 当 磁 场 圆半 径 与轨 迹 圆 半 径 相 等 时 , 存 在 两 条 特 殊 规 律 。本 文 首 先 利 用 几 何 知 识 证 明 这 两 条 规 律 的正 确 性 , 然 后 应 用 这 两 条 规 律 来 解 决 三 个 磁 场 区域 设 计 题 , 这 三 个 题 目初 次 遇 到都 会 感 到难 以 下 手 。 一 的切线 方 向是确 定 的, 因 此 从 A 点 射 人 磁 场 的 所 有 粒 子 都 会 平 行 于 AD 方 向射 出 , 如 图 3所 示 。粒 子 的 入射方 向是分 散 的, 但 经 过 圆 形 有 界 磁场偏转后 , 转 变为 平行 出射 , 好 。 D 比光 学 中 , 经 过 焦 点 的 入 射 光 线 经 、 规 律 及 证 明 凸透 镜 折射 后 变 为 平 行 光 线 一 般 。 此 规律 的逆 规 律 也 是 成 立 的 , 这 就 是 规律 2 。 图3 规律 1 : 带 电 粒 子 从 圆形 有 界 磁 场 边 界 上 的 某 点射入 磁 场 , 如 果磁 场 圆半径 等 于轨迹 圆半径 , 则粒 子 的 出 射 方 向 与 磁 场 圆 上 入 射 点 处 的 切 线 方 向 平行 。 证明: 如 图 1所 示 , 实 线 圆 。 表 示 一 圆 形 有 界 磁 场 的边 规律 2 : 平行 射 入 圆形 有界 磁 场 的 相 同带 电粒 子, 如 果磁 场 圆半径 等 于轨迹 圆半 径 , 则所有 粒子 都 从 磁 场 边 界 上 的 同 一 点 射 出磁 场 。 证 明 : 界, 一个带电粒子 ( 不计重力) 从 圆上 的 A 点射入 磁场 , 磁 场 圆 的半 径 为 R, 带 电 粒 子 在 磁 场 中做 匀 速 圆 周 运 动 半 径 也 是 R, A D 为过 A 点的切线 , 粒 子从 边 界 上 的 C点 沿 C E 方 向射 一 如 图 4所 示 , 在 圆 O 中存 在 垂 直 纸 面 向 里 的匀 强 磁 场 , 束 带 电粒 子 的 质 量 和 电 荷 量 相 同 , 以相 同 的速 度 从 不 同位 出, 下 面 来 证 明 AD∥ C E。 置射入 磁场 , 已知 圆形 有 界 磁 场 的 圆半 径 和 带 电粒 子 做 圆周 运 动的半径相等 , 均 为 R, 求 证 所 有 粒 子 都 从 磁 场 边 界 上 的 同一点 A 射出 。 J 一 . D 图 1 图2 如 图 2所示 , 设 0, 为粒子做圆周运动 的圆心 , 连接 O A、 OC、 Ao, 、 o , C, 因为磁场圆半径等于轨迹 圆半径 , 故O A — OC — A O 一 0 C — R, 则 四 边 形 OA O C 为菱 形 , 可得: 图4 图5 O A/ / O ' C, 又 因为O A- l I A D, 则 0 c J _ A D; 因为 0 C上 C E, 可得 A D/ /C E。 说 明: 如 图 5所示 , 过 O点建 立平 面直角 坐标 系, - z轴 平 行 人 射方 向 , 设 入 射 点 P 与 圆 心 0 的 连 线 OP 与 y轴 正 向的 夹 角 为, 则 P 点 的坐 标为 ( R s i n口 ,R c o s ) , 轨迹 圆 的 圆心 O ( Rs i n ,RC O S 一 R) 。 ? 4 7 ? 在上述 证明过程中 , 粒 子 的 入 射 方 向是 任 意 的 , 而 A 点 3 3卷 第 1 2期 物 理 教 学 磁 场 圆 的方 程 : z +y 。一 R 。 轨 迹 圆 的方 程 : ( z R s i n 口 ) 。 十( +R— R c o s 口 ) 一R 。 。 根据 规律 1 , 如果 加一 个 圆 形有 界磁 场 , 且 圆 的 半 径 恰 好 等于粒子 的 运动 半 径 , 则 从 磁 求 出两 圆 的交 点 坐 标 为 : ( 0 ,一R) ,( Rs i n 0 ,RC O S ) , 其 中( Rs i n , Rc o s ) 为人日 寸 一 j , 则 粒 子 的 出射 点 A 的 坐 标 为: A( 0, R) 。 说 明: 场 中 同一 点 O射 人 的速 率 相 等 的 相 同 带 电粒 子 的 出射 方 向都 是平行 的, 刚 好 满 足 题 意 。 故 应加一 个 圆形 有界 磁 场 , 并 且 由规 律 1可 以 确 定 此 圆 的 位 置: 因 为 O 点 是 磁 场 边 界 上 的 一 A 卞 ’ ¨ l / 、 ’ } ≤ = ) 一 D, O Af 入 射 点 P 的位 置 由角 目决 定 . 不 同 的 入 射 点 对 应 不 同 的 0 角, 但 冉 射 点 的 位 置 A( 0 ,一R) 与角 0 无关 , 这 说 明 无 论 入 射 点 的 位 置 如何 变 化 , 粒 子 都 会 从 点 A( 0 , R) 射 出磁 场 , 规律 2 得 证 。这 就 是 说 , 从 圆 形 有 界 磁 场 边 界 上 不 同 点 以 相 同速 度 入射 的相 同带 电粒 子 , 经 磁 场 偏 转 后 会 从 磁 场 边 界 上 的 同一 点射 出 , 这 好 比平 行 于 凸 透 镜 主 光 轴 的 光 线 经 过 凸 透 图 8 点, 且 z轴 为 过 0 点 的 切 线 , 故 圆心 应 在 ( 0 , R) 处, 做 出此 边界圆与( 1 ) 中两 粒 子 的 轨 迹 共 同组 成 要 找 的 磁 场 边 界 , 如 图 8中 实 线 圆 弧 所 示 。其 面 积 为 : 镜 折射后都汇聚于焦点一般 。 由 图 5还 可 以 看 得 出 射 点 A 的 位 置 如 何 通 过 作 图 找 出 来: 因为 出射 点 A 与 磁 场 边 界 圆 的 圆 心 连 线 与 入 射 方 向垂 直, 因此 可 以过 磁 场 边 界 圆 的 圆 心 作 入 射 方 向 的 垂 线 , 与 磁 场 边 界 的交 点 即为 出射 点 位 置 。 由 以上 两 个 规 律 可 以看 到 , 当磁 场 圆 半径 与 轨 迹 圆半 径 s 一 R 一 2 ( 1 _ _ 。 一 1 R ) ( 号+ 1 ) R 一 ( 号+ ) ( ) [ 例 2 ] ( 2 0 0 9年 海 南 卷 ) 如图 9 , AB c D是 边 长 为 a 的 正 方 形 。 质 量 为 m、 电荷 量 为 的 电子 以大 小 为。的 初 速 度 沿 纸 面垂 直 于 B C 边 射 入 正 方 形 区域 。在 正 方 形 内适 当 区域 中有 匀 强 磁 场 。 电 子 从 B 相等时 , 圆形 匀 强 磁 场 具 有 与 凸 透 镜 类 似 的 “ 聚焦” 作用, 我 们 可 以称 之 为 “ 磁 聚焦” 。 下 面 来 看 它 们 在 磁 场 区 域 设 计 题 中 的应 用 。 二 、应 用 c边 上 的任 意 点 入 射 , 都 只 能 从 A 点 射 出 磁 场 。不 计 重 力 , 求: 图 9 [ 例1 ] 电 子 质 量 为 m, 电荷 量 为 e , 从 坐标 原 点 。 处 沿 x O y平面射人第一象限 , 射 人 时 的 速 度 方 向不 同 , 速 度 大 小 均 为 , 如 图 6所 示 。现 在 某 一 区 域 内加 一 方 向垂 直 纸 面 向 ( 1 )此 匀 强 磁 场 区 域 中磁 感 应 强 度 的 方 向 和 大 小 ( 2 )此 匀 强 磁 场 区域 的 最 小 面 积 。 解析 : 外 的匀 强磁 场 , 磁 感 应 强 度 为 B, 若 这 些 电 子 穿 过 磁 场 后 都 能 垂 直 射 到 荧 光 屏 MN 上 , 荧 光 屏 与 Y轴 平 行 , 求: ( 1 ) 荧 光屏 上 光 斑 的 长 度 。 ( 2 )所 加 磁 场 范 围 的 最 小 面 积 。 ( 1 )考 察 从 C点垂 直 BC 入 射 的 电子 , 要想偏转 到 A点 , 则 在 c点 受 到 的 洛 伦 兹 力 必 竖 直 向下 , 可 由左 手 定 则 判 断 出 磁 场 的 方 向应 垂 直 向外 。 A、C是 轨 迹 上 的 两 点 , 则 圆 心 应 在 J 3 ’ \ 、 AC 的 中 垂 线 上 , 可 知 B 为 轨 迹 圆 的 1 一 A B 、 0 J / / 圆心 , 轨迹 半径 为 a 。做 出 轨 迹 如 图 1 O中虚 线 所 示 。 由 R — a一 7 Y l V O得 , B= — 7 f l y — o ∞ 。 图 1 0 一 0 r D ~ ~ ( 2 )根 据 规 律 2可 知 : 当 加一 个 半径 大 小 等 于 轨 迹 圆 半 径的圆形匀强磁场时 , 所 有 平 行 入 射 的粒 子 都 会 从 边 界 上 的 图 7 图6 同 一 点 射 出磁 场 , 而 此 题 中所 有 垂 直 Bc 边 入 射 的 电子 , 其 解析 : ( 1 )如 图 7所 爪 , 通 过 对 两 个 边 界 粒 子 的 运 动 情 况的考察 , 即可 确 定 光 斑 位 置 : 沿3 2 轴 正 向射 入 的粒 子 , 做 半 个圆周运动后从磁场射 H J , 可以垂直 荧光屏 打在 A 点 ; 沿Y 入 射 方 向互 相 平 行 , 又要 求 都 从 A 点 射 出 磁 场 , 恰 好 与规 律 2相 吻 合 。由 规 律 2还 可 以 确 定 出 所 加 磁 场 的 圆 形 边 界 的 圆心 位 置 : 磁 场 边 界 圆 的 圆 心 与 出 射 点 的 连 线 跟 入 射 方 向垂 轴 正 向射 人 的 粒 子 , 做 1 / 4个 网 周 运 动 后 从 磁 场 射 出 , 可 以 垂 直 荧 光 屏 打 在 D 点 。AD 即 为 荧 光 屏 上 的 光 斑 长 度 : L — R 一 。 直, 故 圆 心 应 在 AD 上 到 A 点 距 离 为 半 径 , , 1 等于。 , 即 在 D 点 。做 出 磁 场 的 圆 形 边 界 如图 1 0中实 线 圆 所 示 。题 目要 求 的 是 最 小 面积 , 而 所 有 从 BC 边 射 人 的 电 子 中 , 从 , ( 2 )由 ( 1 ) 中 两 个 边 界 粒 子 的运 动 轨 迹 可 以确 定 出磁 场 的一 部 分 轮 廓 , 但 是 射 在 AD 之 间 的 粒 子 , 它 们 从 磁 场 何 处 射 出 呢 ?这 之 间 的磁 场 边 界 如何 确 定 呢 ? ? C 点入 射 的 电 子 的 轨 迹 是 最 靠 上 的 , 只 要 保 证此轨迹处 于磁 场 中 即可 , 故 可 把 它 作 图 1 1 B 为磁场的上边界 , 如此 修改后 , 磁 场 的 最 小 4R ? 3 3卷 第 1 2期 物 理 教 学 2 O l 1 . 1 2 区域 由图 1 1中 的 两 段 实 线 圆 弧 组 成 。求 出 此 图 形 的 面 积 , 为两个 1 / 4扇 形 面积 的 和减 去 一 个 正 方 形 面 积 : ( 3 )利用 规 律 1 、 2可 以 比较 容 易 解 决 此 问 : 从 磁 场 1中 射 出的 的 电子 速 度 相 同 , 如果 再 平 行 射 入 一 个 等 大 的 圆 形 有 界磁场 , 则 又会 聚焦 于 z轴 上 的 同 一 点 N, 根据左手定 则 , 可 以 确 定 磁 场 2的方 向也 是 垂 直 纸 面 向里 的 , 如图 1 4所 示 。考 虑几 何 上 的条件 限制 : 两 个 磁 场 不 能相 互 交 叠 , 则 MN 间 的距 s 一 2 ? ÷ z _ R 一 ( 号 一 1 ) R 一 n 离应 该 大 于两 圆的 半 径之 和 , 即 L≥ 2 R( L 为 MN 两 点 间 的距 [ 例3 ] 真 空 中 有 一 半 径 场方向垂 直 于 纸 面 向里 , 为 一 o … 离) , 由此 可得 所加 磁场 的磁 感 应强 度应 满足 条件 : B≥ 兰 。 为R的圆柱形匀强磁场区 域, 磁 / , v 过 边 界 。 点 的 切 线 所 、 、 示 。从 0 点 在 纸 面 内 向 各 个 方 向 发 射 速 率 均 为。的 电 子 , 设 电 子 间 的 相 互 作 用 可 以忽 略 , 且 电 子 在 磁 场 中 的 偏 转 半 径 也 为 \ \ 、 D , / 图1 2 R。 已 知 电 子 的电 荷 量 为 e , 质 量 为 m。问 : ( 1 )速 度 方 向分 别 与 O x方 向夹 角 为 6 O 。 和9 O 。 的 电子 , 在磁 场中的运动时间分别是多少 ? ( 2 )所 有 从 磁 场 中 射 出 的 电 子 , 速度方 向有何特征? ( 3 )设 在 某 一 平 面 内有 M 、N 两 点 , 由 M 点 向平 面 内 各 个 方 向发 射 速 率 均 为 V o的 电 子 , 请 设计一种 匀强磁 场分布 , 使 得 由 M 点 发 出 的所 有 电 子 能 汇 聚 到 N 点 。 解析 : ( 1 )画 出 电 子 在 磁 场 一 图 1 4 上 面 只考 虑 了 向 z轴 上 方 射 出 的 电子 , 对 于 向 z轴 下 方 射 出 的 电子 , 要 将 他 们 从 M 点 射 出后 聚 焦 于 N 点 可 以采 取 相 同方法, 加 上两 个 半 径 也 是 R 的 圆形 磁 场 , 只是 轴 下 方 磁 场 方 向应 与 上 方 的 相反 。整 个 磁 场 区域 设 计 如 图 1 5 所示 。 中的运动轨迹如 图 1 3中 实 线 所 , / × 示, D 2为 圆 心 。设 电 子 的 入 射 0. 由几 o 、 、 知  ̄ 向 与 z轴 的 夹 角 为 , / O0, E= O Oo】 一o 】 E 一 日0 2 —0 2 O —R, : 、 由 、 . 蹩 I 。 I 。 、 O、 、 、 : 知 四 边 形 OO E O 为 菱 形 , 则 0 0 E一 0 , 粒 子 在 磁 场 中 的运 动 时间为 : t 一 。 ( ) 2 图1 3 图 1 5 综上 所 述 , 当带 电粒 子 在 圆形 有 界 磁 场 中 运 动 半 径 等 于 磁 场 圆半 径 时 , 从 磁 场 边 界 上 沿 不 同 方 向入 射 的 相 同粒 子 改 因 此, 当0 一 时, 一 ; 当0 一詈 时, £ 一 ( 2 )由规 律 1 , 可 以直 接 解 答 此 问 , 从 圆 形 有 界 磁 场 边 界 变 为沿 相 同方 向平 行 射 出 ; 平 行 人 射 的 相 同 粒 子 将 会 聚 于 同 一 点 射 出 。可 见 , 磁场 圆好 比一 个 凸 透镜 , 可 以 让 从 焦 点 入 射 上 。点射入磁场 的电子 , 由 于 轨 迹 圆 半 径 等 于磁 场 圆 半 径 , 因此 所 有 电 子 出 射 的 速 度 方 向互 相 平 行 , 都 平 行 于 入 射 点 的 切线方 向 , 即与 O x平 行 。 的光 线 改 变 成 平行 光 线 ; 也 可 以将 平 行 主光 轴 的 入 射 光 线 会 聚 于焦 点 。我 们 可 以把 这 种 问题 叫做 “ 磁 聚焦 ” 。利 用 好 本 文 介绍 的规 律 , 可 以方 便 地解 答 以此 为 背景 的磁 场 区域 设 计 题 。 ( 上接第 2 3页 ) 当我们 对上 述 数 据处 理 的原 理 做 进 一 步 的 分 析 s 一s 。 , 并 由此 去获 取 与不 同 的 △ s 相对 应 的 面 ” 这样 可 以发 现 , 其“ 截取 s ~t 图象 的某 段 △ s ” 的数 据 处 理 的 实验方 案 。在 此 基 础 上 , 再 按 照 以上 所 论 及 的实 操作 , 其实 , 还 蕴 涵 有 另 外 一 层 的实 验 意 义 , 即 此 举 验 与数 据 处 理 的 方 法 来 实 现 对 预 期 实 验 目标 的 认 相 当 于运用 图 2的实 验 系统 完 成 了一 次 对 某 一 宽 度 知 。需要 指 出 的是 , 在 每次 截 取 图 象数 据 时 , 应 注 意 的挡光 片所 进行 的平 均速 度 的测 定 。 基 于 以上 的分析 , 我们 就 可 以形 成 “ 利用 位 移传 感器 来获 取小 车在 斜 面 上 做 匀 加 速 直线 运 动 的 s ~t 保 持 其初 位移 s 。 在 同一 位 置 ( 如图中 A点 ) , 因为 由 一 +-  ̄ - A t 可知, 与A t ( A s ) 的线性关系是对应于 厶 图象 以及 利用 鼠标 在 图象 上 选 择 多 段位 移 , 即A s一 有 相 同初速 度 而 言 的 。 ? 49 ?

 

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